آموزش ریاضیات

مقاله ای در مورد آموزش ریاضیات

آموزش رياضيات، تنها براي افزايش توان فكري يا تحليلي بشريت و كاربرد در زندگي يا ساير علوم مرتبط نيست. رياضيات به علت داشتن تاريخ طولاني، انبوهي از دانسته ها را پديد آورده است، كه بخش مهمي از علم و دانش بشري را تشكيل مي‌دهد. بنابراين اگر آموزش را به عنوان ابزار حفظ، انتقال و بالا رفتن سطح فرهنگ جامعه و مخاطبان تعريف كنيم. يكي از وظايف معلم‌هاي رياضي اين است كه دستاوردهاي عظيم تاريخ رياضيات را از طريق مدارس و كلاس هاي درس به نسل آينده انتقال دهند. در كلاس‌هاي درس رياضيات كنوني، اغلب معلمان رياضي همواره مي‌كوشند، تا ابتدا دانش‌آموزان درك درستي از مفاهيم رياضي داشته باشند، سپس تكنيك ها و روش‌هاي حل مسأله را ارائه مي‌دهند و در مرحله آخر، كاربردهايي از درس مورد نظر را براي دانش‌آموزان بيان مي‌كنند و در ارائه اين مطالب از روش‌هاي مختلف آموزش استفاده مي‌كنند. اما معلم رياضي با دانستن تاريخ رياضيات براساس فعاليت دانش‌آموز، مي‌تواند طوري تدريس كند كه دانش‌آموز در فرايند حل مسأله يا اثبات يك قضيه قرار گرفته و تنها به راه حل اكتفا نكند. با اين روش كاري مي كنيم كه دانش‌آموز، مراحل مختلف حل مسأله را خودش انجام دهد. اين كار باعث مي‌شود كه دانش‌آموز تا اندازه اي در جريان حل مسأله و تاريخچه كشف يك قضيه قرار گيرد و به جاي تكرار لفظي قضايا، علم را پيش خود بازآفريني كند، تا اين كه به نتيجه مطلوب برسد. بايد توجه داشته باشيم كه تاريخ رياضي فقط نقل روايت هاي زندگي علمي دانشمندان نيست

وقتي به تاريخ مي نگريم، ملاحظه مي كنيم كه در گذشته دور، سقراط نيز مسأله آموزش و پرورش و تئوري‌هاي يادگيري را مورد مطالعه قرار داده است. سقراط در روش خود، موسوم به روش «مامايي» بيان مي كند كه آموزش بايد طوري باشد كه دانش‌آموز (به معني اعم آن) مفاهيم را بزايد و به نظر او معلم در اين تولد، نقش «ماما» را دارد. همچنين ژان ژاك روسو اعتقاد خود را به آموزش بر محور دانش‌آموز بيان مي كند، همچنين وي تاكيد مي‌كند كه دانش‌آموز بايد علم را پيش خود بازآفريني كند. او مي‌گويد دانش‌آموز بايد علوم را كشف كند

ژاك آدمار در كتاب روان شناسي ابداع در رياضيات از قول هانري پوانكاره مي نويسد

من بيان خواهم كرد كه حل فلان قضيه، تحت بهمان شرايط اتفاق افتاد، اين قضيه يك نام غير مصطلح دارد كه براي بسياري كسان بيگانه است، اما اين موضوع اهميتي ندارد، آنچه براي روان شناس رياضي جالب است، نه خود قضيه بلكه اوضاع و احوالي است كه به ابداع منجر مي‌شود

جميز كلارك ماكسول معتقد است، خيلي مفيد خواهد بود، اگر شاگردان در هر مبحثي، نوشته هاي دست اول مربوط به آن مبحث را بخوانند، زيرا علوم هميشه در همان صورتي كه تولد يافته اند، بهتر جذب مي‌شوند.‌‌

بنابراين ، براي رسيدن به هدف هاي ظريفي كه توسط محققان آموزش رياضي در بالا پيشنهاد شده است، يعني «افزايش درك رياضي»، بايد تاريخ رياضيات را به عنوان يك ابزار موثر در دست معلم براي دادن بينش به دانش‌آموزان و برانگيختن علاقه آن‌ها در نظر گرفت. اگر با كاوشي در تاريخ رياضيات بتوانيم دانش‌آموز را در اوضاع و احوالي قرار دهيم كه منجر به كشف يك قضيه يا فرايند حل يك مسأله ‌شود در اين صورت تدريس را به طور جذاب‌تر انجام داده‌ايم و دانش‌آموز با فكر خود «مانند يك رياضيدان» شروع به اكتشاف مي كند. در نتيجه دانش‌آموز با اين عمل مفاهيم را كمتر فراموش خواهد كرد و چه بسا با اين فرايند، دانش‌آموز بتواند مطالبي را با فكر خود بزايد، كه براي ما تازگي داشته باشد، زيرا رياضيات در حقيقت آفرينش آزادانه ذهن بدون هيچ محدوديتي به جز ماهيت خود ذهن است

آشنايي با تاريخ رياضيات، تسلط معلمان رياضي را بر مباحث درسي كامل‌تر مي كند و به آن‌ها امكان مي دهد تا موضوع تدريس خود را عميق تر و با احساس قوي‌تري درك و تدريس كنند

 

Math Games

 

Power Sums

Ed Pegg Jr., November 13, 2006

In 1772, Euler made a conjecture: If a sum of n positive kth powers equals one kth power, then n ≥ k.

In 1966, Lander, Parkin and Selfridge proved Euler wrong with 144⁵ = 133⁵+110⁵+84⁵+27⁵. Let this solution be considered as (5.1.4). All parts are 5th powers, and 1 of them is equal to 4 others, or (5.1.4). Lander, Parkin and Selfridge further conjectured that for other powers sums (k,m,n), that m+n ≥ k. So far, no counterexamples have been found. Only seven forms are known with equality: 4.1.3, 4.2.2, 5.1.4, 5.2.3, 6.3.3, 8.3.5, and 8.4.4. The last of these was discovered by Nuutti Kuosa on Nov 9, 2006.

158⁴+59⁴ = 134⁴+133⁴ (4.2.2) infinite solutions
422481⁴=414560⁴+217519⁴+95800⁴ (4.1.3) infinite solutions
144⁵ = 133⁵+110⁵+84⁵+27⁵ (5.1.4) 2 known solutions
14132⁵+220⁵ = 14068⁵+6237⁵+5027⁵ (5.2.3) 1 known solution
23⁶+15⁶+10⁶ = 22⁶+19⁶+3⁶ (6.3.3) 10 known solutions
966⁸+539⁸+81⁸ = 954⁸+725⁸+481⁸+310⁸+158⁸ (8.3.5) 1 known solution
3113⁸+2012⁸+1953⁸+861⁸=2823⁸+2767⁸+2557⁸+1128⁸ (8.4.4) 1 known solution
Figure 1. Known solutions for (k,m,n) with m+n = k.

Since March 1999, such results have been collected by EulerNet, headed by programmer Jean-Charles Meyrignac. Over 200 EulerNet contributors have put in almost 200 years of computer time looking for solutions, and improving search methods. Many of the solutions above are due to the EulerNet group. There are no known equalities for 6.1.5, 6.2.4, 7.1.6, 7.2.5, 7.3.4, 8.1.7, and 8.2.6, or for any higher powers. A plot of the excess for the best known solutions is below:

Figure 2. Excess of best known solutions. Only 4,5,6, and 8 have solutions with 0 excess.

Another power sum problem is the Fermat-Catalan conjecture, which claims there are a finite number of solutions to x^p+y^q = z^r, when 1/p + 1/q + 1/r < 1. There are ten known solutions, excluding trivial variations of the first example.

1⁷+2³ = 3²
2⁵+7² = 3⁴
7³+13² = 2⁹
2⁷+17³ = 71²
3⁵+11⁴ = 122²
1414³+2213459² = 65⁷
33⁸+1549034² = 15613³
9262³[phone]² = 113⁷
43⁸+96222³ = 30042907²
17⁷+76271³ = 21063928²
Figure 3. Known solutions for the Fermat-Catalan conjecture.

A third power problem is the abc-conjecture. Consider a number that is a power, or which contains many powers. rad(n) is the product of all distinct prime divisors of n. For example, if n = 3²×5⁶×7³, then rad(n) is 3×5×7, or 105. For sums a+b=c, there are only seven known examples where log(c)/log(rad(abc)) > 1.54.

2 + 3¹⁰×109 = 23⁵
11² + 3²×5⁶×7³ = 2²¹×23
19×1307 + 7×29²×31⁸ = 2⁸×3²²×5⁴
283 + 5¹¹×13² = 2⁸×3⁸×17³
1 + 2×3⁷ = 5⁴×7
7³ + 3¹⁰ = 2¹¹×29
7²×41²×311³ + 11¹⁶×13²×79 = 2×3³×5²³×953Figure 4. Known solutions for log(c)/log(rad(abc)) > 1.54 in the abc-conjecture.

An alternate form of the problem is to consider log(abc)/log(rad(abc)). Only ten examples are known where log(abc)/log(rad(abc))>4.2.

13×19⁶ + 2³⁰×5 = 3¹³×11²×31
2⁵×11²×19⁹ + 5¹⁵×37²×47  = 3⁷×7¹¹×743 
2¹⁹×13×103 + 7¹¹ = 3¹¹×5³×11²
19⁸×43⁴×149² + 2¹⁵×5²³×101 = 3¹³×13×29²×37⁶×911
2³⁵×7²×17²×19 + 3²⁷×107²  = 5¹⁵×37²×2311 
3¹⁸×23×2269 + 17³×29×31⁸ = 2¹⁰×5²×7¹⁵ 
17⁴×79³×211 + 2²⁹×23×29² = 5¹⁹
5¹⁴×19 + 2⁵×3×7¹³ = 11⁷×37²×353 
2⁷×5⁴×7²² + 19⁴×37×47⁴×53⁶ = 3¹⁴×11×13⁹×191×7829
3²¹ + 7²×11⁶×199 = 2×13⁸×17 Figure 5. Known solutions for log(abc)/log(rad(abc)) > 4.2 in the abc-conjecture.

All of these problems are considered extremely difficult, so many congratulations to Nuutti Kuosa for extending one of these lists.

---

References:

Richard Guy, Unsolved Problems in Number Theory, Springer, 2004.

Jean-Charles Meyrignac, EulerNet, "Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers" http://euler.free.fr/.

Abderrahmane Nitaj, "ABC Conjecture Home Page," http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html.

Eric Weisstein, "Diophantine Equation, Fermat-Catalan Conjecture" From MathWorld--A Wolfram Web